数轴上的动点问题：七类题型梳理
数学六年级上动点问题绝对值专题梳理
4
必备公式
5
解题步骤
7
题型分类
12
配套练习
动点问题是六上到初一上最稳定的一类压轴题，几乎所有变形都建立在同一套东西上：用含 t 的式子表示每个点的坐标，再把「距离 / 中点 / 倍比」这些几何条件翻译成方程。这篇把公式、步骤、七类题型、易错点和 12 道分层练习一次整理清楚，可直接当复习提纲用。
一、四个必备公式
动点题算不出来，八成不是不会解方程，而是这四条没背成条件反射。
| 公式 | 含义 | 最容易踩的坑 |
|---|---|---|
| AB = |a − b| | A、B 表示 a、b，两点距离是两数之差的绝对值 | 不加绝对值，必漏解 |
| a ± vt | 起点 a，速度 v，时间 t；向右取 +，向左取 − | 只有从原点出发才能写成 vt |
| m = (a + b) ÷ 2 | M 是 AB 中点，M 的坐标是两端坐标之和的一半 | 反过来写 2m = a + b 更好用（免去分母） |
| |x − a| = x 到 a 的距离 | 绝对值的几何意义，所有距离条件的翻译工具 | 记住它，才能把文字条件变成方程 |
一句话记牢：坐标可以为负，距离永远非负。凡是题目里出现「距离」「相距」「到某点的距离相等」，等式左边或右边一定要有绝对值符号，否则就丢掉了一半答案。
二、解题五步法
| 步骤 | 做什么 | 具体要求 |
|---|---|---|
| 1 画图定位 | 画出数轴 | 标出定点、动点的起点、方向、速度，方向画箭头 |
| 2 设元表点 | 设运动时间为 t | 把每个动点的坐标写成含 t 的式子，一行一个写清楚 |
| 3 翻译条件 | 把中文换成等式 | 距离一律写绝对值；中点用 2m = a + b |
| 4 解方程 | 去绝对值 | 分两种情况，得到两个解，一个都不能丢 |
| 5 回头检验 | 筛答案 | 看 t 是否在时段内：点停下没有？折返没有？ |
核心心法：动点问题本质是「用 t 表示一切，再让等式成立」。坐标写对了，题目就完成一半；剩下的只是解方程和筛答案。第 5 步是拉开分差的地方——大部分扣分不是不会算，而是算完不回头看。
三、七类题型精讲
从单动点到新定义，难度逐级上升。每道题先自己写，再看解析。
类型一 · 单动点：把坐标写出来，一切好办
数轴上点 A 表示 −8，点 B 表示 12。动点 P 从 A 出发，以每秒 2 个单位的速度沿数轴向右运动，设运动时间为 t 秒（0 ≤ t ≤ 10）。
（1）用含 t 的式子表示点 P 表示的数；（2）当 t = 5 时，求 PB 的长；（3）当点 P 到原点的距离为 4 时，求 t 的值。
(1)起点是 −8，向右走，每秒 2 个单位，t 秒走 2t，所以 P = −8 + 2t。
(2)t = 5 时，P = −8 + 10 = 2，所以 PB = |2 − 12| = 10。
(3)「到原点的距离」就是 P 的坐标的绝对值：|−8 + 2t| = 4。
−8 + 2t = 4，得 t = 6；或 −8 + 2t = −4，得 t = 2。两解都在 0 ≤ t ≤ 10 内，答 t = 2 或 t = 6。
点睛：第 (3) 问最容易只写一个答案。绝对值方程 |X| = a（a > 0）一定有两个解，几何上就是原点左右各一个点。
类型二 · 相向而行：相遇就是坐标相等
A 表示 −20，B 表示 16。动点 P 从 A 出发以每秒 3 个单位向右运动，动点 Q 从 B 出发以每秒 2 个单位向左运动，同时出发。
（1）求两点相遇的时刻与相遇点表示的数；（2）求 t 为何值时，PQ = 6。
列式P = −20 + 3t，Q = 16 − 2t。
(1)相遇时两点重合，坐标相等：−20 + 3t = 16 − 2t，即 5t = 36，t = 7.2；此时 P = −20 + 21.6 = 1.6。
(2)PQ 是两点距离：|(−20 + 3t) − (16 − 2t)| = |5t − 36| = 6。
5t − 36 = 6，得 t = 8.4；或 5t − 36 = −6，得 t = 6。答 t = 6 或 t = 8.4（一个是相遇前相距 6，一个是相遇后相距 6）。
点睛：相向而行用速度和，相遇时间可以秒算验算：(20 + 16) ÷ (3 + 2) = 7.2。
另外，「相距多少」永远有两解——相遇前和相遇后各一次，这就是绝对值的两个分支。
另外，「相距多少」永远有两解——相遇前和相遇后各一次，这就是绝对值的两个分支。
类型三 · 中点问题：三个点，一条等式
A 表示 −10，B 表示 8。P 从 A 出发以每秒 2 个单位向右运动，Q 从 B 出发以每秒 1 个单位向左运动，同时出发，设时间为 t 秒。
（1）求两点相遇的时刻；（2）当原点 O 是 PQ 的中点时，求 t；（3）当 P 是 AQ 的中点时，求 t；（4）线段 PQ 的中点 M 表示的数为 −4 时，求 t。
列式P = −10 + 2t，Q = 8 − t。
(1)−10 + 2t = 8 − t，得 3t = 18，t = 6（相遇点表示 2）。
(2)O 是 PQ 中点 ⟺ P、Q 坐标之和为 0：(−10 + 2t) + (8 − t) = 0，即 t = 2；此时 P = −6、Q = 6，关于原点对称。
(3)P 是 AQ 中点 ⟺ 2P = A + Q：2(−10 + 2t) = −10 + (8 − t)，即 5t = 18，t = 3.6。
(4)M = (P + Q) ÷ 2 = (t − 2) ÷ 2，令其等于 −4，得 t = −6。因为 t ≥ 0，所以这样的 t 不存在（t ≥ 0 时 M 最小为 −1，永远到不了 −4）。
点睛：三句口诀——「M 是 PQ 中点」⟹ 2M = P + Q；「O 是 PQ 中点」⟹ P + Q = 0；「P 是 AQ 中点」⟹ 2P = A + Q。
第 (4) 问是陷阱题：方程有解不等于题目有解，必须回头检查 t 的范围。
第 (4) 问是陷阱题：方程有解不等于题目有解，必须回头检查 t 的范围。
类型四 · 同向追及：看差速度
A 表示 −6，B 表示 18。P 从 A 出发以每秒 4 个单位向右运动，Q 从 B 出发以每秒 1 个单位向右运动，同时出发。
（1）几秒后 P 追上 Q？追上时在什么位置？（2）几秒后 PQ = 8？
列式P = −6 + 4t，Q = 18 + t。
(1)追上即坐标相等：−6 + 4t = 18 + t，得 3t = 24，t = 8；此时 Q = 18 + 8 = 26。
(2)|(−6 + 4t) − (18 + t)| = |3t − 24| = 8：
3t − 24 = 8，得 t = 32/3；或 3t − 24 = −8，得 t = 16/3。答 t = 16/3 秒（追上前，相距 8）或 t = 32/3 秒（追上后，超出 8）。
点睛：同向而行用速度差：追上时间 = 初始距离 ÷ 速度差 = 24 ÷ (4 − 1) = 8。
判断用和还是用差，只看方向：面对面用加法，一前一后用减法。
判断用和还是用差，只看方向：面对面用加法，一前一后用减法。
类型五 · 定值探究：寻找那个不变的东西
A 表示 −4，B 表示 8。P 从 A 出发以每秒 2 个单位向右运动，Q 从 B 出发也以每秒 2 个单位向右运动，同时出发。M 是 AP 的中点，N 是 BQ 的中点。
（1）用含 t 的式子表示 M、N；（2）MN 的长度是否随 t 变化？说明理由；（3）求 MN 的中点表示的数的变化规律。
列式P = −4 + 2t，Q = 8 + 2t。
(1)M 为 AP 中点：M = [(−4) + (−4 + 2t)] ÷ 2 = −4 + t；N 为 BQ 中点：N = [8 + (8 + 2t)] ÷ 2 = 8 + t。
(2)MN = |(8 + t) − (−4 + t)| = 12，t 被消掉了，所以 MN 恒等于 12，不随 t 变化，恰等于 AB 的长。
(3)MN 的中点 = [(−4 + t) + (8 + t)] ÷ 2 = 2 + t，即从 AB 的中点（2）出发，以每秒 2 个单位向右匀速移动。
点睛：定值题的判断标准只有一句——化简后 t 消掉了，就是定值。
为什么是 12？因为 P、Q 速度相同，两点「同步平移」，AP 与 BQ 同步变长，两个中点之间的跨度当然不变。遇到这类题先看速度是否相同，往往一眼出答案。
为什么是 12？因为 P、Q 速度相同，两点「同步平移」，AP 与 BQ 同步变长，两个中点之间的跨度当然不变。遇到这类题先看速度是否相同，往往一眼出答案。
类型六 · 折返运动：分段列式，逐段检验
A 表示 −12，B 表示 8。P 从 A 出发以每秒 3 个单位向右运动，到达 B 后立即以原速返回，回到 A 停止；Q 从 B 出发以每秒 1 个单位向左运动，到达 A 停止。
（1）求 P 到达 B 的时刻，并写出返回途中 P 表示的数的表达式；（2）求两点第一次相遇的时刻与位置；（3）求两点第二次相遇的时刻与位置。
分析AB = 8 − (−12) = 20。P 去程 20 ÷ 3 = 20/3 秒，返程再用 20/3 秒，全程 40/3 秒；Q 全程 20 ÷ 1 = 20 秒。
(1)P 在 t = 20/3 时到达 B。返回阶段（20/3 ≤ t ≤ 40/3）从 B 向左走，已走 3(t − 20/3)，故 P = 8 − 3(t − 20/3) = 28 − 3t。（验算：t = 40/3 时 P = −12，正好回到 A。）
(2)去程（0 ≤ t ≤ 20/3）：P = −12 + 3t，Q = 8 − t。−12 + 3t = 8 − t，得 4t = 20，t = 5，P = Q = 3。t = 5 < 20/3，落在去程内，有效。
(3)返程用 P = 28 − 3t，Q 仍向左：28 − 3t = 8 − t，得 2t = 20，t = 10。t = 10 在 [20/3, 40/3] 内，有效；P = 28 − 30 = −2。
点睛：折返题两条铁律——① 先算折返时刻，把时间轴切成几段，每段单独写坐标公式；② 解完必须回到所属时间段验证，很多时候方程「有解」，但那个 t 根本不在这一段里，是假解。
类型七 · 新定义阅读题：读懂一句，列对一个式子
定义：数轴上，若点 C 到点 A 的距离是点 C 到点 B 距离的 2 倍，则称点 C 是 A、B 的「二倍点」。已知 A 表示 −2，B 表示 4。
（1）判断点 M（表示 2）、点 N（表示 10）是否为 A、B 的二倍点；（2）求 A、B 所有的二倍点；（3）动点 P 从 A 出发以每秒 1 个单位向右运动，求 P 成为二倍点时的 t。
(1)M：到 A 距离 4，到 B 距离 2，4 = 2 × 2，是；N：到 A 距离 12，到 B 距离 6，12 = 2 × 6，是。
(2)设该点表示 x，把定义翻译成方程：|x + 2| = 2|x − 4|，按 A、B 把数轴分三段讨论：
x < −2：−x − 2 = 2(4 − x)，得 x = 10，与 x < −2 矛盾，舍去；
−2 ≤ x ≤ 4：x + 2 = 2(4 − x)，得 3x = 6，x = 2；
x > 4：x + 2 = 2(x − 4)，得 x = 10。答：二倍点是表示 2 和 10 的两个点。
(3)P = −2 + t，PA = t，PB = |t − 6|，令 t = 2|t − 6|：t = 2(6 − t)，得 t = 4（P = 2）；t = 2(t − 6)，得 t = 12（P = 10）。
点睛：这类题的关键动作只有一个——把中文定义逐字换成绝对值。「到 A 的距离」→ |x − a|，「是……的 2 倍」→ 等号右边乘 2。定义读对了，题目就变成普通的绝对值方程。
第 (3) 问的小技巧：PA = t 不用加绝对值，因为 P 从 A 向右出发，t ≥ 0 时 P 一直在 A 右边。
第 (3) 问的小技巧：PA = t 不用加绝对值，因为 P 从 A 向右出发，t ≥ 0 时 P 一直在 A 右边。
四、六个高频易错点
| # | 错法 | 正确做法 |
|---|---|---|
| 1 | 距离忘了加绝对值，只写 PB = P − 12 | 写成 |P − 12|，因为不知道谁在左谁在右 |
| 2 | 坐标起点搞错：P 从 A（−8）出发写成 2t | 写成 −8 + 2t；只有从原点出发才是 vt |
| 3 | 不检验 t 的范围，用了已失效的坐标公式 | 点停下或折返后公式失效，解出的 t 必须落在该时段内 |
| 4 | 和差搞反：相向用差、同向用和 | 面对面用速度和，一前一后用速度差 |
| 5 | 中点漏括号：写成 a + b ÷ 2 | 是 (a + b) ÷ 2；代入负数更要加括号 |
| 6 | 多解只写一个，或该舍的没舍 | 「相距 6」通常两解；「中点在某处」可能无解，答完自查 |
五、分层练习
先独立完成，再对后面的答案。答案只给结果与关键提示，过程请自己写完整。
基础篇 · 把坐标写对，把方程列对
- 数轴上点 A 表示 −5，动点 P 从 A 出发以每秒 3 个单位向右运动。用含 t 的式子表示 P；当 t = 4 时，求 PA 的长。
- 数轴上 A 表示 −7，B 表示 5，动点 P 从 A 出发以每秒 2 个单位向右运动。几秒后 P 到 A、B 两点的距离相等？
- A 表示 −9，B 表示 3。P 从 A 以每秒 1 个单位向右，Q 从 B 以每秒 3 个单位向左，同时出发。求相遇时刻与相遇点。
- 点 A 表示 2，动点 P 从 A 出发以每秒 2 个单位向左运动。当 P 到原点的距离为 6 时，求 t。
- A 表示 −2，B 表示 10。P 从 A 以每秒 2 个单位向右，Q 从 B 以每秒 2 个单位向左，同时出发。M 是 AP 的中点，求 M 与 Q 重合时的 t。
- A 表示 −6，B 表示 6。P 从 A 以每秒 1 个单位向右运动。当 PA + PB = 14 时，求 P 表示的数。
提高篇 · 双动点综合，中点与定值
- A 表示 −10，B 表示 14。P 从 A 以每秒 3 个单位向右，Q 从 B 以每秒 2 个单位向左，同时出发。求 PQ = 4 时的 t。
- 在 7 的条件下，M 为 PQ 的中点。当 M 到原点的距离为 7 时，求 t。
- A 表示 −4，B 表示 6。P 从 A 以每秒 1 个单位向右，Q 从 B 以每秒 4 个单位向左，同时出发。当 P 是 BQ 的中点时，求 t。
- A 表示 −8，B 表示 12。P 从 A 以每秒 2 个单位向右，Q 从 B 也以每秒 2 个单位向右，同时出发。M 是 AP 的中点，N 是 BQ 的中点。MN 的长度是否随 t 变化？说明理由。
压轴篇 · 绝对值分类讨论、折返多解
- A 表示 −3，B 表示 5。若数轴上点 C 满足 CA = 3CB，求点 C 表示的所有数。
- A 表示 −10，B 表示 20。P 从 A 以每秒 5 个单位向右运动，到达 B 后立即返回，回到 A 停止；Q 从 B 以每秒 2 个单位向左运动，到达 A 后立即返回，到 B 停止。求两点第一次、第二次相遇的时刻与位置。
六、参考答案与提示
| 题 | 答案 / 关键提示 |
|---|---|
| 1 | P = −5 + 3t；t = 4 时 PA = 12 |
| 2 | t = 3（距离相等即 P 是 AB 中点，P = −1） |
| 3 | −9 + t = 3 − 3t ⟹ t = 3，位置 −6 |
| 4 | |2 − 2t| = 6 ⟹ t = 4 或 t = −2（舍），故 t = 4 |
| 5 | M = −2 + t，−2 + t = 10 − 2t ⟹ t = 4 |
| 6 | t + |t − 12| = 14 ⟹ t = 13，P = 7（P 在线段 AB 内时恒为 12，无解） |
| 7 | |5t − 24| = 4 ⟹ t = 4 或 t = 28/5（5.6） |
| 8 | M = (4 + t) ÷ 2，|(4 + t) ÷ 2| = 7 ⟹ t = 10（另一解 t = −18 舍） |
| 9 | 2(−4 + t) = 6 + (6 − 4t) ⟹ 6t = 20 ⟹ t = 10/3 |
| 10 | M = −8 + t，N = 12 + t，MN = 20 恒定（t 消去） |
| 11 | |x + 3| = 3|x − 5| ⟹ C = 3 或 C = 9（x < −3 段无解） |
| 12 | 第一次 t = 30/7（位置 80/7）；第二次 t = 10（位置 0） |
第 12 题过程提示：AB = 30。P 到 B 用 6 秒、返程 12 秒回到 A；Q 到 A 用 15 秒。
0～6 秒：P = −10 + 5t，Q = 20 − 2t，令二者相等得 t = 30/7；
6～12 秒：P = 50 − 5t，Q 仍为 20 − 2t，令二者相等得 t = 10（落在本段内，有效），此时两点恰好都在原点。
0～6 秒：P = −10 + 5t，Q = 20 − 2t，令二者相等得 t = 30/7；
6～12 秒：P = 50 − 5t，Q 仍为 20 − 2t，令二者相等得 t = 10（落在本段内，有效），此时两点恰好都在原点。
七、怎么用这份讲义
第一遍（40 分钟）：只读第一、二节，把四个公式和五步法默写一遍，不碰例题。
第二遍（60 分钟）：例题遮住解析自己做，做完对照「点睛」那一句，错的题在题号旁标类别（哪个类型）。
第三遍（40 分钟）：做分层练习 1～6 题，全对再进 7～10，最后挑战 11、12。
复习期：每周抽 2 道折返题 + 1 道定值题保持手感，重点检查「有没有漏解、有没有检验范围」这两件事。